Infos zu den binomischen Formeln:

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Binomische Formeln lassen sich über Flächen veränderter Quadrate anschaulich erklären. Man gibt dabei die entstehenden Teilflächen in möglichst kurzer Form an.

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1. binomische  Formel		Die Seiten des gelben Quadrats der Länge a werden um den Wert b verlängert.
			Das neue Gesamtquadrat hat die Seitenlänge a + b  und seine Fläche beträgt  (a+b)2
			Wenn man die Teilflächen des Gesamtquadrats genau anschaut, stellt man fest, dass es sich um drei verschiedene Flächengrößen handelt. Also gilt als Gesamtfläche     Ages =  A1  +  2 •  A2   +   A3  In den Variablen a und b ausgedrückt heisst es dann (a+b)2 =  a2  +  2ab  +   b2  als 1. binomische Formel

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2. binomische  Formel		Die Seiten des Gesamtquadrats der Länge a werden um den Wert b gekürzt.
			Das verkleinerte (gelbe) Quadrat hat die Seitenlänge a - b  und seine Fläche beträgt diesmal  (a-b)2
			Wenn man sich diesmal die einzelnen Flächen genau anschaut, stellt man fest, dass die Teilfläche a • b nur dann ein zweites Mal vom Gesamtquadrat der Seitenlänge a abgeschnitten werden kann, wenn zuvor das Flächenstück Nr.3 der Fläche b2 nochmals addiert wurde. Es gilt also      (a-b)2   = a2   - 2ab   +   b2  als 2. binomische Formel

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3. binomische  Formel		Eine Seite eines Quadrats der Länge a wird um den Wert b verlängert, während gleichzeitig die zweite Quadrat-Seite um den Wert b verkürzt wird.
			Das dadurch entstehende Rechteck   hat die Länge a + b und die Breite a - b   und seine Fläche beträgt diesmal  (a+b) • (a-b)
			Das Rechteck a • b ist an der neuen Stelle zu zu lang,  so dass das Flächenstück Nr.3 der Fläche b2 subtrahiert werden muss.  Es gilt also      (a+b)•(a-b) =  a2   -  b2  als 3. binomische Formel

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Zusammenfassung zu allen drei binomischen  Formeln:
	1. binomische Formel	2. binomische Formel	3. binomische Formel
Quadratform	(a  +  b)2	(a  -  b)2	nicht möglich
Produktform	(a  +  b) • (a  +  b)	(a  -  b) • (a  -  b)	(a  +  b) • (a  -  b)
aufgelöst	a2  +  2ab  +  b2	a2  -  2ab  +  b2	a2  -  b2

Bei der 1. und der 2. binomischen Formel gilt immer das folgende "Konstruktionsrezept":
(a  ±  b)2	=  a2  ±  2ab  +  b2
	= Quadrat des 1. Gliedes plus oder minus Doppeltes vom 1. Glied mal dem 2. Glied dann immer plus Quadrat des 2. Gliedes.

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Quadratische Ergänzung  bei der Rückwärtslösung der 1. bzw. 2. binomischen Formel :
Lösungstipps:	allgemein	konkretes Beispiel	Zeile
Es beginnt mit einem unvollständig aufge- lösten binomischen Term, der die Lösungs- variable in der 1. und der 2. Potenz enthält.	a2 ± 2ab = ...	x2 - 6x +9  = 5 +9	(1)
Um ihn zu vereinfachen wird zuerst eine Zeile tiefer die Quadratform einer 1. bzw. 2. binomischen Formel erzeugt. Dann wird die  die quadratische Ergänzung  (das dritte Glied der gelösten Form) gesucht und in der vorherigen Zeile auf beiden Seiten hinzuaddiert.	(a ± b)2 = ...	(x - 3)2 = 14	(2)
	a2 ± 2ab +b2 = ...  dieser Schritt ist Ergänzung von Zeile 1

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Allgemeine Tipps: Mit der Tabulatortaste gelangt man jeweils ins jeweils nächste Eingabefeld der Übungsaufgaben. Leerzeichen werden als Fehler gewertet und 100% gibt es nur, wenn vor dem Prüfen alle Felder richtig ausgefüllt sind.

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